Funktionen 1

Im Beispiel Relationen unterschiedlich darstellen wurde eine Relation gezeigt, die gleichzeitig linksvollständig und rechtseindeutig ist.

Eine solche Relation stellt in der Mathematik einen so wichtigen Sonderfall dar,
dass sie einen eigenen Namen erhält: Funktion.

 

Für die Funktion in diesem Beispiel sind im Koordinatensystem vier Punkte eingezeichnet.

Man könnte auch sagen: "Die Funktion besteht aus vier Punkten."


In vielen Fällen besteht eine Funktion jedoch aus wesentlich mehr Punkten, sogar aus unendlich vielen Punkten.

Hierzu ein neues Beispiel:

Ein Wagen fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit eine bestimmte Strecke.

  • Nach 1 Stunde ist er 50 km weit gefahren.
  • Nach 2 Stunde ist er 100 km weit gefahren.
  • Nach 3 Stunde ist er 150 km weit gefahren.

In einer Relationstabelle würde das so aussehen...

 

1 Std.

2 Std.

3 Std.

 50 km

X

 

 

100 km

 

X

 

150 km

 

 

X

...und im Koordinatensystem so:

Als nächstes soll dargestellt werden, wie weit der Wagen nach jeder halben Stunde gefahren ist.

In einer Relationstabelle würde das so aussehen...

 

0,5 Std.

1 Std.

1,5 Std.

2 Std.

2,5 Std.

3 Std.

 25 km

X

 

 

 

 

 

 50 km

 

X

 

 

 

 

 75 km

 

 

X

 

 

 

100 km

 

 

 

X

 

 

125 km

 

 

 

 

X

 

150 km

 

 

 

 

 

X

...und im Koordinatensystem so:

 

 

Hier sind es mehr Punkte und sie liegen enger zusammen!


Wenn jetzt dargestellt werden soll, wie weit der Wagen nach jeder viertel Stunde gefahren ist, dann wird die Relationstabelle noch größer. Bei noch geringeren Zeitabständen, z.B. 5 Minuten, 1 Minute oder im Sekundenbereich würde die Relationstabelle dann zu groß für eine übersichtliche Darstellung.

Hier ist es vorteilhafter, die Funktion in einen Koordinatensystem darzustellen, bei dem die Einteilung auf der x-Achse und der y-Achse zwar nicht alle Elemente zeigt, also z.B. nur die vollen Stunden, nicht aber die einzelnen Minuten, wobei ein Ablesen der einzelnen Werte dennoch möglich ist, indem horizontale und vertikale Hilfslinien zu den jeweiligen Punkten gezogen werden.

 

Im folgenden Koordinatensystem sind die Punkte dargestellt, die zeigen sollen, wie weit der Wagen nach jeder viertel Stunde gefahren ist.


Da der Wagen eine Strecke fährt und nicht von einem Ort zum anderen springt, gibt es auch Zwischenpunkte, z.B. für die jeweiligen Minuten und Sekunden.

Selbst im Sekundenbereich gibt es wieder Zwischenpunkte, bis die Zeitabstände und die dazugehörenden Strecken unendlich klein werden.

Eine Relationstabelle mit unendlich vielen Punkten wäre jedoch auch unendlich groß und somit nicht darstellbar.

Anders sieht es bei dem Koordinatensystem aus.

Eine Funktion, die aus unendlich vielen Punkten besteht, die unendlich eng zusammenliegen, ist nichts anderes, als eine Linie.

 

Solch eine Linie wird im Koordinatensystem auch als "Kurve" bezeichnet, auch wenn die Linie, die ja eine Funktion darstellt, nicht gebogen ist.


« Relationen 4


 

 

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