Relationen 1

1) Der Begriff Relation

In der Mathematik steht der Begriff "Relation" in engem Zusammenhang mit den Begriffen "Mengen" und "Elemente".

Eine Relation sagt aus, in welcher Beziehung
die Elemente zweier Mengen zueinander stehen!

Auch das lässt sich wieder mit Hilfe einer Zeichnung darstellen. Dazu werden die beiden Mengen A und B aus dem Kapitel: Mengenlehre: 1) Mengen und Elemente verwendet.

Zur Erinnerung:
Menge A besteht aus den 4 Elementen: John, Igor, Pedro und Fritz.
Menge B besteht aus den 5 Elementen: Schweiz, Russland, Spanien, China, USA.

 

 

Eine solche Zeichnung heißt in der Mathematik Pfeildiagramm.


In dieser Zeichnung zeigen die Pfeile, wer wo Urlaub macht.

Ohne eine Aussageform (in diesem Fall: ...macht Urlaub in...), würde das Pfeildiagramm nichts aussagen, denn die Pfeile könnten ja alles Mögliche bedeuten!

Für eine Relation sind immer zwei Dinge notwendig:

  • die Aussageform
    (in diesem Fall: ...macht Urlaub in...)
  • die Elemente, die daran beteiligt sind
    (in diesem Fall: John, Igor, Pedro, Schweiz, Russland, USA)

Im folgenden Pfeildiagramm bleiben die beiden Mengen A und B unverändert. Es ändert sich aber die Aussageform (z.B. ...hat Verwandte in...):

 

  • John hat Verwandte in Russland.
  • Pedro hat Verwandte in der Schweiz und in den USA.
  • Fritz hat Verwandte in Spanien.

Dieses Pfeildiagramm zeigt also eine andere Relation als das erste!

Sonderfall: Nur eine statt zwei Mengen
Eine Relation kann auch dann bestehen, wenn die Elemente einer Menge, also nicht zweier Mengen, in einer Beziehung zueinander stehen.

Im folgendem Beispiel enthält die Menge A die Elemente 1, 2, 3, 4 und die Menge B die Elementen 5, 6.

Diesmal sind es also keine Personen oder Länder, sondern Zahlen als Elemente. Um eine Relation zu erhalten, wird noch eine Aussageform benötigt, z.B. ...ist kleiner als... Das folgende Pfeildiagramm zeigt die Relation (...ist kleiner als...):

 

 

Im Pfeildiagramm gehen also wieder Pfeile von A nach B,
die zeigen, welche Zahlen von A kleiner sind als von B.


Aber nicht nur zwischen den Elementen von A und B
trifft die Aussageform ...ist kleiner als... zu...

 

 

...sondern auch z.B. innerhalb der Menge A,
denn 1 ist ja auch kleiner als 2 und als 3 usw.


Es gibt also auch Relationen innerhalb einer Menge, anstatt nur Relationen zwischen zwei Mengen.

Richtig muss es also heißen:

Eine Relation sagt aus, in welcher Beziehung
die Elemente einer oder zweier Mengen zueinander stehen.

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