Dualsystem (Zweiersystem)

1. Dezimalsystem 2. Dualsystem 3. Hexadezimalsystem

Im Zweiersystem, das auch Dualsystem genannt wird, werden alle Zahlen aus der 0 und der 1 gebildet, also insgesamt aus zwei unterschiedlichen Ziffern.

Die 0 und die 1 bedeuten im Dezimalsystem und im Dualsystem das gleiche. Da es im Dualsystem nur die beiden Ziffern 0 und 1 gibt, müssen alle anderen Zahlen aus diesen beiden Ziffern zusammengesetzt werden:

0 =

0

1 =

1

2 =

10

3 =

11

4 =

100

5 =

101

6 =

110

7 =

111

8 =

1000

Bei genauer Betrachtung fällt auf, dass die Dualzahlen immer dann um eine weitere Stelle verlängert werden, wenn die nächst höhere Potenz der Zahl 2 erreicht wird.

2er-Potenz

Dezimalzahl

Dualzahl

2^0

1

1

2^1

2

10

2^2

4

100

2^3

8

1000

2^4

16

10000

2^5

32

100000

2^6

64

1000000

2^7

128

10000000

Damit lassen sich Dualzahlen leicht in Dezimalzahlen umrechnen.

 

Beispiel: Dualzahl 110

 

100 =

4

+

10 =

2

=

110 =

6

Das Ergebnis lautet: Die Dualzahl 110 ist als Dezimalzahl die 6, denn 4 + 2 = 6.

 

Beispiel: Dualzahl 11010

 

10000 =

16

+

1000 =

8

+

10 =

2

=

11010 =

26

Das Ergebnis lautet: Die Dualzahl 11010 ist als Dezimalzahl die 26, denn 16 + 8 + 2 = 26.

 

Beispiel: Dualzahl 10000101

 

10000000 =

128

+

100 =

4

+

1 =

1

=

10000101 =

133

Das Ergebnis lautet: Die Dualzahl 10000101 ist als Dezimalzahl die 133, denn 128 + 4 + 1 = 133.

Übertragen in eine Stellenwerttabelle sieht das für die Dualzahl 10000101 dann so aus:

Stelle

2^7

2^6

2^5

2^4

2^3

2^2

2^1

2^0

 

Stellenwert

1

0

0

0

0

1

0

1

= 10000101

Ergebnisse

128

+ 0

+ 0

+ 0

+ 0

+ 4

+ 0

+ 1

= 133

Auch in umgekehrter Reihenfolge lässt sich dieses Verfahren anwenden, also wenn eine Dezimalzahl in eine Dualzahl umgerechnet werden soll.

Beispiel: Dezimalzahl 78

 

64 =

1000000

Rest

14

+

8 =

1000

Rest

6

+

4 =

100

Rest

2

+

2 =

10

Rest

0

=

78 =

1001110

 

 

Bei einer Dezimalzahl, in diesem Fall 78, wird zuerst geprüft, welche größtmögliche 2er-Potenz hineinpasst.

  • 2^7, also 128 ist zu groß, die nächst kleinere 2er-Potenz ist 2^6, also 64.
  • Die 64 passt in die Dezimalzahl 78. Es bleibt eine Differenz, bzw. ein Rest von 14 übrig.
  • Für die 14 wird wieder die größtmögliche 2er-Potenz gesucht.
  • 2^4, also 16 ist zu groß, die nächst kleinere 2er-Potenz ist 2^3, also 8.
  • Die 8 passt in die Dezimalzahl 14. Es bleibt eine Differenz, bzw. ein Rest von 6 übrig.
  • Für die 6 wird wieder die größtmögliche 2er-Potenz gesucht.
  • 2^3, also 8 ist zu groß, die nächst kleinere 2er-Potenz ist 2^2, also 4.
  • Die 4 passt in die Dezimalzahl 6. Es bleibt eine Differenz, bzw. ein Rest von 2 übrig.
  • Für die 2 wird wieder die größtmögliche 2er-Potenz gesucht.
  • 2^1 passt genau. Es bleibt keine Differenz, bzw. Rest übrig (Rest = 0).
  • Jetzt werden die Dualzahlen der jeweils passenden 2er-Potenzen addiert.

Das Ergebnis lautet: Die Dezimalzahl 78 ist als Dualzahl die 1001110.

 

Beispiel: Dezimalzahl 4379

Auch hier muss zunächst die größtmögliche 2er-Potenz gefunden werden.

In den vorigen Beispielen wurden nur 2er-Potenzen bis 2^7, also bis 128 benötigt. Für die Dezimalzahl 4379 braucht man größere 2er-Potenzen, die sich jedoch ganz einfach ermitteln lassen.

Die nächst höhere 2er-Potenz nach 2^7, also 128, ist 2^8, also 256.

256 ist genau das Doppelte von 128.

Durch die einfache Verdoppelung erhält man immer wieder die nächst höhere 2er-Potenz.

Das Doppelte von 256 ist 512, davon das Doppelte ist 1024, davon das Doppelte ist 2048, usw.

Die Dualzahl der 2er-Potenz 2^7, also 128, ist 10000000, also eine Eins mit sieben Nullen.

Die Dualzahl der nächst höheren 2er-Potenz 2^8, also 256, ist 100000000, also eine Eins mit acht Nullen.

Das Rechnen besteht nur in dem Verdoppeln der 2er-Potenzen, angefangen von 2^1 = 2, dann 2^2 = 4, dann 2^3 = 8, dann 2^4 = 16, dann 32, 64, 128, 256, usw.

Die dazugehörenden Dualzahlen, also z.B. 2^3 = dezimal 8 = dual 1000, ergeben sich durch einfaches Abzählen der Nullen, also z.B. drei Nullen nach der Eins bei 2^3 oder fünf Nullen nach der Eins bei 2^5, usw.

Hier die 2er-Potenzen bis 2^14:

2er-Potenz

Dezimalzahl

Dualzahl

2^0

1

1

2^1

2

10

2^2

4

100

2^3

8

1000

2^4

16

10000

2^5

32

100000

2^6

64

1000000

2^7

128

10000000

2^8

256

100000000

2^9

512

1000000000

2^10

1024

10000000000

2^11

2048

100000000000

2^12

4096

1000000000000

2^13

8192

10000000000000

2^14

16384

100000000000000

Nun zurück zur Umrechnung der im Beispiel genannten Dezimalzahl 4379:

  • 2^13, also 8192 ist zu groß, die nächst kleinere 2er-Potenz ist 2^12, also 4096.
  • 4096 passt in die Dezimalzahl 4379. Es bleibt ein Rest von 283 übrig.
  • Für die 283 wird wieder die größtmögliche 2er-Potenz gesucht.
  • 2^9, also 512 ist zu groß, die nächst kleinere 2er-Potenz ist 2^8, also 256.
  • 256 passt in die Dezimalzahl 283. Es bleibt ein Rest von 27 übrig.
  • Für die 27 wird wieder die größtmögliche 2er-Potenz gesucht.
  • 2^5, also 32 ist zu groß, die nächst kleinere 2er-Potenz ist 2^4, also 16.
  • Die 16 passt in die Dezimalzahl 27. Es bleibt ein Rest von 11 übrig.
  • Für die 11 wird wieder die größtmögliche 2er-Potenz gesucht.
  • 2^4, also 16 ist zu groß, die nächst kleinere 2er-Potenz ist 2^3, also 8.
  • Die 8 passt in die Dezimalzahl 11. Es bleibt ein Rest von 3 übrig.
  • Für die 3 wird wieder die größtmögliche 2er-Potenz gesucht.
  • 2^2, also 4 ist zu groß, die nächst kleinere 2er-Potenz ist 2^1, also 2.
  • Die 2 passt in die Dezimalzahl 3. Es bleibt ein Rest von 1 übrig.
  • Für die 1 wird wieder die größtmögliche 2er-Potenz gesucht.
  • 2^0, also 1 passt genau. Es bleibt kein Rest übrig (Rest = 0).
  • Jetzt werden die Dualzahlen der jeweils passenden 2er-Potenzen addiert.

 

4096 =

1000000000000

Rest

283

+

256 =

100000000

Rest

27

+

16 =

10000

Rest

11

+

8 =

1000

Rest

3

+

2 =

10

Rest

1

+

1 =

1

Rest

0

=

4379 =

1000100011011

 

 

Das Ergebnis lautet: Die Dezimalzahl 4379 ist als Dualzahl die 1000100011011.

« Dezimalsystem

Hexadezimalsystem »


 

Galerien / Präsentationen...

city001-sidebar

link-icon002 Galerien-Übersicht...

Kategorien

Alle Artikel

(Inhaltsverzeichnis)

link-icon002 alphabetisch geordnet...

link-icon002 nach Datum geordnet...

soziale Netzwerke...

"Cogniclip" ist auch auf folgenden sozialen Netzwerken vertreten:

Cogniclip auf Twitter Cogniclip auf Google+
 

Per RSS Beiträge abonnieren:

RSS-Feed von Cogniclip
 

Kalender

Dezember 2017
M D M D F S S
 123
45678910
11121314151617
18192021222324
25262728293031
« Feb